Направления исследований

  • Математическая теория солитонов
  • Нелинейные и локализованные структуры в физике конденсированных сред
  • Динамика солитонов в магнитных, упругих и оптических системах
  • Резонансные и авторезонансные явления в динамике солитонов, генерация и управление солитонами
  • Нелинейная теория пространственно-локализованных структур в тонких оболочках
  • Солитоны и нелинейные волны в киральных магнетиках
  • Трехмерные топологические солитоны в магнетиках

 

Деятельность лаборатории

В течение примерно тридцати лет наша группа развивала математические методы в теории солитонов, исследовала нелинейные явления в физике конденсированных сред. Первоначально мы развили метод одевания Захарова-Шабата для построения точных решений различных уравнений динамики квазиодномерных магнетиков и впервые развили метод обратной задачи и метод одевания (солитонный сектор) для нелинейных уравнений с эллиптической SL-AS- парой (асимметричная киральная модель, уравнение Ландау-Лифшица анизотропного магнетика и т.п.). Для интегрирования таких уравнений был предложен общий метод, использующий матричную задачу Римана на торе и получено частное решение этой задачи (матричная задача Римана с нулями), что позволило найти алгоритм построения многосолитонных решений. Часть этих результатов была независимо получена в работах А.В.Михайлова (1982) и Ю.Л. Родина (1983). Эти результаты были применены, в частности, для описания вихрей в несоизмеримых структурах. Нелинейные возбуждения в спиральных магнитных структурах были впервые предсказаны в наших работах. Структура сингулярного вихря и спирали в модели скалярного поля (модели sin-Гордон) была описана в работах нашей группы на основе впервые предложенной модификации метода обратной задачи рассеяния для решения нелинейных краевых задач. В рамках континуального приближения были исследованы различные типы структур в магнетиках. Изучено влияние параметров анизотропного обмена и одноионной анизотропии на структуру вихря. Предсказано существование нового типа образований (сингулярных «мишеней») в легкоплоскостном ферромагнетике и исследована их структура. Впервые предложен оригинальный анзац для построения широкого класса уравнений Ландау-Лифшица (в обменном приближении) в двумерном и трехмерном случаях. Теоретически предсказаны новые классы структур, включающие простейшие узоры типа сингулярных мишеней, спиральных вихрей и спиральных «ежей» и описано их взаимодействие. Предложен новый метод интегрирования нелинейных уравнений, использующий методы классической дифференциальной геометрии. Он основан на вложение нелинейного уравнения в частных производных в редукцию определенной криволинейной системы координат в трехмерном пространстве. Используется преобразование годографа, но производные полей связываются с компонентами метрического тензора и искомое уравнение записывается в терминах компонент метрического тензора. Построен новый класс точных решений (типа волны Римана) уравнений (в 3+1 пространстве-времени) n-поля, имеющая многочисленные приложения в теории поля и физике конденсированных сред. Этот метод применен к модели главного кирального поля на группе SU(2) в трехмерном пространстве. Показано, что интегрирование этой модели эквивалентно решению новых задач дифференциальной геометрии, в частности, задаче построения трех ортогональной системы координат, каждая из которых удовлетворяет уравнению Лапласа и предъявлено их решение. Получены в аналитической форме новые типы нетривиальных решений с внутренней структурой и предсказаны новые типы структур (текстур) в антиферромагнетиках. Вырожденному случаю модели главного кирального поля на группе SU (2 соответствует модель Гейзенберга). Найден новый класс точных решений нелинейных уравнений этой модели, в частности, топологических возбуждений, имеющие форму малоамплитудных спиралей в ферромагнетиках, которые являются обобщением полученных ранее результатов. Несмотря на то, что к настоящему времени известен богатый класс двумерных структур в конденсированных средах, локализованные состояния типа малоамплитудных спиралей является новыми. Их энергия не зависит от амплитуды, и они могут быть обнаружено экспериментально. Численными методами выявлена структура трехмерного магнитного солитона, перспективного для создания новых устройств памяти с ненулевым инвариантом Хопфа и изучена его динамика.

Нами была продемонстрированы эффективность метода автосинхронизации («авторезонанса») для возбуждения нелинейных волн больших в рамках модели нелинейного уравнения Шредингера в приложении к нелинейно-оптическим системам. Затем мы показали эффективность метода для многофазных волн на периодическом интервале для моделей КдВ и SG. Впервые было показано, что периодическими нелинейными волнами можно эффективно управлять методом автофазировки. Поскольку задача была близкой к интегрируемой, описание генерируемых конечнозонных решений было осуществлено в терминах обратной задачи рассеяния. Этот подход позволяет дать наиболее адекватный анализ многофазных решений. Другая серия наших работ была посвящена исследованиям эффекта автосинхронизации для вихрей в идеальной жидкости. В частности, нам удалось сгенерировать совершенно новые неоднородные структуры, представляющие собой обобщения известных V-cостояний Н. Забуски, и показать эффективность метода управления этими структурами. Нам удалось также показать, что авторезонансным образом могут эффективно возбуждаться дрейфовые волны.

Нами были развиты методы, пригодные для анализа начально-краевых задач нелинейной теории упругости. На основе предложенных моделей впервые аналитически описаны начальные стадии формоизменения наиболее нагруженных слоев среды продольно сжатых и гидростатически сжатых оболочек вблизи порогов устойчивости. На этой стадии нелинейно-упругие взаимодействия близких неустойчивых мод деформации и дисперсионные эффекты начинают конкурировать между собой, результатом чего является ограничение роста амплитуды волн и образование узоров из вмятин на поверхности оболочки. Эффект локализации изгибов существенно отличает нелинейную задачу от линейной эйлеровой задачи о неустойчивости упругих систем. Предсказаны и аналитически описаны новые типы солитонов, распространяющиеся подобно частицам вдоль образующейся деформированной оболочки со складками и вмятинами, а также вдоль гофрированного слоя нагруженного материала. Такие солитоны образуются только на начальной стадии формоизменения среды, и поэтому могут быть использованы для выявления и диагностики их предкритического напряженного состояния. Полученные результаты качественно согласуются с имеющимся экспериментальным материалом.